Numere prime Numere compuse Criterii de recunoastere a numerelor prime Ciurul lui Eratostene

Inca din clasa a V-a am discutat despre divizibilitatea numerelor naturale, am invatat Criteriile de divizibilitate dar divizorii unui numar sau multipli unui numar.
Astfel :
Doua numere se numesc prime daca cel mai mare divizor comun a celor doua numere este 1 .
Orice numar natural, cu exceptia lui 1, are cel putin doi divizori: pe 1 si pe el insusi.
Un numar natural care are exact doi divizori se numeste numar prim.
Exemplu:
Numerele 2, 3, 5, 7, 11, 13 sunt numere prime.
Un numar natural care re cel putin trei divizori se numeste numar compus
Exemplu:
Numerele: 4, 6, 8, 9, 10 sunt numere compuse.
Observatie
Numarul 2 este singurul numar par prim, deoarece are exact doi divizori, adica pe 1 si pe el insusi.
Numarul 1 are decat un singur divizor, deci numarul 1 nu este nici prim, nici compus.
Ciurul lui Eratostene
Ciurul lui Eratostene este un criteriu simplu si vechi, creat de Eratostene, un matematician din Grecia antica.
Acesta permite gasirea tuturor numerelor prime, mai mici sau egale cu numarul natural dat n:
Existam mai multe etape pe care trebuie sa le parcurgem pentru a gasii numerele prime
Etapele:
1. Se scriu numerele de la 2 la n intr-o lista
2. Primul numar prim este 2. Se taie cu o linie oblica toate numerele din lista care sunt multiplii lui 2. Astfel obtinem o noua lista cu numere taiate si netaiate.
3. Primul numar netaiat din lista este de asemenea prim.Se taie cu o linie oblica toate numerele din lista care sunt multiplii acestui numar. Rezulta o noua lista
4 Se repeta etapa trei pana cand noua lista nu mai contine numere netaiate.
5. Rezulta o lista finala care contine numere taiate si numere netaiate. Cele netaiate sunt toate numere prime mai mici sau egale ca n.
Exemplu
Gasiti numerele prime pana la 20

Astfel am gasit numerele prime mai mici decat 20
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Putem folosii acest sir pentru a afla numerele prime astfel:
- impartim numarul la numerele prime in ordine crescatoare pana cand  catul devine mai mic decat impartitorul.
- daca restul tuturor impartirilor nu este 0, atunci numarul este prim, daca in schimb restul uneia din impartiri este 0, atunci numarul este compus.

Probleme care se rezolva cu ajutorul operatiilor studiate

Adunarea, scaderea, inmultirea si impartirea numerelor naturale ne ajuta sa formulam si sa rezolvam unele probleme foarte importante pentru stiinta si viata de zi cu zi.
Incluse sunt ecuatiile si inecuatiile.
 Acestea sunt foarte importante deoarece ajuta la rezolvarea unor probleme la care suntem nevoiti sa raspundem.
Prezentam etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele:
- stabilim necunoscuta sau neconoscutele problemei
- obtinem ecuatia sau ecuatiile
- rezolvam ecuatia sau ecuatiile
- interpretam rezultatul sau rezultatele
Problema rezolvata
1) Daca din dublul unui numar scadem 18, obtinem 2. Aflati numerele.
Solutie
Notam cu x- numarul necunoscut
Dublul numarului inseamna 2x scadem 18, adica
2x-18 si obtine 2, astfel obtinem:
2x-18=2
Astfel daca rezolvam ecuatia obtinem
2x=18+2
2x=20
x=20:2
x=10
Deci numarul pe care l-am aflat este 20
Observam ca daca efecutam proba obtinem 2. ceea ce trebuia sa obtinem.
2) 4 caiete  si 6 creioane  costa 26 de lei, 2 caiete si un creion costa 11 lei. Cat costa impreuna un caiet si un creion?
Solutie:
Stabilim mai intai necunoscuta, astfel notam cu
x- caietele
y- creioanele
Formam ecuatiile
4x+6y=26 lei
si 2x+y=11 lei
Astfel am obtinut doua ecuatii cu doua necunoscute:
Observam ca la prima ecuatie daca impartim prin 2 obtinem:
4x+6y=26|:2
2x+3y=13(*)
Iar din cea de-a doua ecuatie daca scoatem pe y obtinem
y=11-2x (**)
Astfel daca inlocuim in (*) obtinem:
2x+33-6x=13
33-13=6x-2x
20=4x
4x=20
x=5 lei
Deci un caiet costa 5 lei.
Acum sa aflam cat costa un creion, astfel daca inlocuim in (**) pe x obtinem:
y=11-10
y=1 leu
Deci un creion costa un leu
Astfel impreuna un caiet si un creion costa
x+y=5+1=6 lei.
Deci,e important la rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor sa formam ecuatiile corect, dar sa le si rezolvam corect si sa interpretam rezultatul obtinut. Este important sa efecuam si proba pentu a fi siguri ca am efectuat corect.

Ordinea semnelor in operatii cu numere intregi

Intr-un exercitiu in care apar numerele intregi trebuie sa tinem cont de anumite reguli.
Astfel incepem cu Adunarea si scaderea numerelor intregi
La adunarea numerelor intregi
Trebuie sa tinem cont de urmatoarele reguli:
- prima data stabilim semnele numerelor
-Daca numerele au aacelasi semn , atunci si suma are acelasi semn ca si termenii care o compun
si valarea absoluta a sumei este egala suma valorilor absolute ale termenilor
Exemplu:
a) (+3)+(+5)=+5
b) (-4)+(-5)=-9
c) (-1)+(-10)=-11
O definitie mai usoara ar fi:
 Cand avem doua numere intregi cu acelasi semn se da semnul comun si numerele se aduna. Ca de altfel la b) avem (-4)+(-5) semnul comun celor doua numere este - si numerele le adunam, adica 4+5 si obtinem 9, iar cu semnul care deja l-am stabilit obtinem -9.
Sau un exemplu mai concret, din viata de zi cu zi, va ganditi ca v-ati imprumutat la un prieten 4 lei, iar dupa o zi v-ati mai imprumutat inca 5 lei, deci suma care o datorati prietenului este (-4)+(-5)=-9 de -9 lei.
-Daca termenii au semne diferite si aceeasi valoare absoluta,atunci suma este egala cu 0.
Exemplu:
d) (-2)+(+2)=0
e) (+15)+(-15)=0
Adica cand avem aceleasi numere de semne contrare obtinem tot timpul 0.
- Daca termenii au semne diferite si valorile absolute diferite, atunci suma are acelasi semn ca si termenul ce are valoarea absoluta mai mare, iar valoarea absoluta a sumei este egala cu diferenta valorilor absolute ale termenilor.
Exemplu:
f) (+5)+(-3)=+2
g) (-7)+(+4)=-3
h) (+6)+(-9)=-3
Deci ca sa intelegeti mai bine regula Cand avem doua numere de semne contrare si valorile numerice diferite, adica un numar mai mare decat altul se da semnul celui mai mare numar si numerele se scad, dupa cum observati f) (+5)+(-3), dam semnul celui mai mare, adica + si numerele se scad 5-3=2, si obtinem cu semnul pe care l-am obtinut +3  dar la
g) (-7)+(+4), dam semnul celui mai mare adica - si numerele se scad 7-4=4, iar cu semnul din fata parantezei obtinem -4.

Bun venit la Ora de Mate

Acest blog este dedicat tuturor persoanelor interesate de matematica.Mari si mici ,copii si bunici,cu totii sunteti invitati aici.